(FUVEST 2016/Adaptado) - QUESTÃO

Um pêndulo simples, constituído por um fio de comprimento e uma pequena esfera, é colocado em oscilação. Uma haste horizontal rígida é inserida perpendicularmente ao plano de oscilação desse pêndulo, interceptando o movimento do fio na metade do seu comprimento, quando ele está na direção vertical. A partir desse momento, prove que o período do movimento da esfera é dado por 
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3C0;«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»g«/mi»«/mfrac»«/msqrt»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msqrt»«mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»g«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Note e adote:
A aceleração da gravidade é g.
Ignore a massa do fio.
O movimento oscilatório ocorre com ângulos pequenos.
O fio não adere à haste horizontal.


Resolução:                                                                                                                                     
A situação descrita no enunciado pode ser representada pelo esquema a seguir:
  • Período do pêndulo (TTOTAL) descrito no enunciado:
TTOTAL = Δt1 + Δt2

  • Cálculo de Δt1 =  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»T«/mi»«mo»(«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#x000A0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#x000A0;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x003C0;«/mi»«mo»§#x000A0;«/mo»«msqrt»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»g«/mi»«/mfrac»«/mstyle»«/msqrt»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#x000A0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#x000A0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x003C0;«/mi»«mo»§#x000A0;«/mo»«msqrt»«mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»g«/mi»«/mfrac»«/msqrt»«/mstyle»«/math»
  • Cálculo de Δt2 = «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»T«/mi»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#x000A0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#x000A0;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x003C0;«/mi»«mo»§#x000A0;«/mo»«msqrt»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»g«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/msqrt»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#x000A0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#x000A0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x003C0;«/mi»«mo»§#x000A0;«/mo»«msqrt»«mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»g«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/msqrt»«/mstyle»«/math»
    TTOTAL = «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x003C0;«/mi»«mo»§#x000A0;«/mo»«msqrt»«mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»g«/mi»«/mfrac»«/msqrt»«mo»§#x000A0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#x000A0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x003C0;«/mi»«mo»§#x000A0;«/mo»«msqrt»«mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»g«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/msqrt»«mo»§#x000A0;«/mo»«mo»§#x021D2;«/mo»«mo»§#x000A0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»T«/mi»«mi»TOTAL«/mi»«/msub»«mo»§#x000A0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#x000A0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x003C0;«/mi»«mo»§#x000A0;«/mo»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»g«/mi»«/mfrac»«/msqrt»«mo»§#x000A0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#x000A0;«/mo»«msqrt»«mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»L«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»g«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/msqrt»«mo»§#x000A0;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»