(UNIFESP 2017) - QUESTÃO

Uma massa constante de gás ideal pode ser levada de um estado inicial A a um estado final B por dois processos diferentes, indicados no diagrama P × V.
Para ocorrer, a transformação ACDEB exige uma quantidade Q1 de calor e a transformação AFB exige uma quantidade Q2 de calor. Sendo TA e TB as temperaturas absolutas do gás nos estados A e B, respectivamente, calcule:
a) o valor da razão TB/TA
b) o valor da diferença Q1 – Q2, em joules.


Resolução:                                                                                                                                     
a) Como a massa de gás é constante:
«math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»P«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»A«/mi»«/msub»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»V«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»A«/mi»«/msub»«/mrow»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»T«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»A«/mi»«/msub»«/mfrac»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mfrac»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»P«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»B«/mi»«/msub»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»V«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»B«/mi»«/msub»«/mrow»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»T«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»B«/mi»«/msub»«/mfrac»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mfrac»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»T«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»B«/mi»«/msub»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»T«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»A«/mi»«/msub»«/mfrac»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mfrac»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»P«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»B«/mi»«/msub»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»V«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»B«/mi»«/msub»«/mrow»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»P«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»A«/mi»«/msub»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»V«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»A«/mi»«/msub»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«msup»«mn»10«/mn»«mn»5«/mn»«/msup»«/menclose»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mn»6«/mn»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«/menclose»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«msup»«mn»10«/mn»«mn»5«/mn»«/msup»«/menclose»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«/menclose»«/mrow»«/mfrac»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mo»§#x2234;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mfrac»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»T«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»B«/mi»«/msub»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»T«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»A«/mi»«/msub»«/mfrac»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mn»7«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mspace linebreak=¨newline¨/»«/mstyle»«/math»
b) As duas transformações começam e terminam nos mesmos estados (A e B). Dessa forma:
  • «math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»§#x394;U«/mi»«mi»ACDEB«/mi»«/msup»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msup»«mi»§#x394;U«/mi»«mi»AFB«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»Q«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3C4;«/mi»«mi»ACDEB«/mi»«/msup»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»Q«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3C4;«/mi»«mi»AFB«/mi»«/msup»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#x2192;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»Q«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»Q«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3C4;«/mi»«mi»ACDEB«/mi»«/msup»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3C4;«/mi»«mi»AFB«/mi»«/msup»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»(«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»I«/mi»«mo»)«/mo»«/mstyle»«/math»
O trabalho das forças de pressão ao longo da transformação ACDEB pode ser calculado a partir do gráfico fornecido.
  • «math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3C4;«/mi»«mi»ACDEB«/mi»«/msup»«mo»§#xA0;«/mo»«mover»«mo»=«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»N«/mi»«/mover»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»A«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»A«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»(«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»)«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mn»5«/mn»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«mspace linebreak=¨newline¨/»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3C4;«/mi»«mi»ACDEB«/mi»«/msup»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mn»1700«/mn»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»J«/mi»«/mstyle»«/math»
  • «math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3C4;«/mi»«mi»AFB«/mi»«/msup»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3C4;«/mi»«mi»AF«/mi»«/msup»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3C4;«/mi»«mi»FB«/mi»«/msup»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»p«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»A«/mi»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»(«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»V«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»F«/mi»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»V«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»A«/mi»«/msub»«mo»)«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»6«/mn»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»§#xB7;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»)«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3C4;«/mi»«mi»AFB«/mi»«/msup»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mn»800«/mn»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»J«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Assim, substituindo «math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3C4;«/mi»«mi»ACDEB«/mi»«/msup»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»e«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»§#x3C4;«/mi»«mi»AFB«/mi»«/msup»«mo»§#xA0;«/mo»«mi»em«/mi»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»(«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»I«/mi»«mo»)«/mo»«mo»:«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
 «math style=¨font-family:Tahoma¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»Q«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»Q«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mn»1700«/mn»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mn»800«/mn»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mo»§#x2234;«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»Q«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»Q«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»§#xA0;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#xA0;«/mo»«mn»900«/mn»«mo»§#xA0;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»J«/mi»«/mstyle»«/math»